¿Porqué los números enteros?

PARA REFLEXIONAR



Observa los dados, se llaman números enteros, observa que tienen un signo, pueden ser positivos o negativos; o cero.

¿Porqué se idearon los números enteros?
¿Para qué usamos los números enteros?
¿En que situaciones requerimos de los números enteros?

Son interrogantes que debemos esclarecer en esta sección.

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Problemas sobre mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de
ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?

Esto es un problema que se resuelve aplicando los conocimientos de máximo común divisor.

Muchos problemas de la vida cotidiana se resuelven empleando los conocimientos del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor. En esta sección aprenderás a resolver ese tipo de problemas.




A PRACTICAR

Máximo Común Divisor

PARA REFLEXIONAR

¿Qué es el máximo común divisor?
¿Cómo se calcula el máximo común divisor de dos o más números naturales?
¿Cuánto es el máximo común divisor de 12 y 18?
¿Cuánto es el máximo común divisor de 50 y 60?
¿Cuánto es el máximo común divisor de 600, 900 y 1500?

Son preguntas que aprenderás a responder al estudiar este tema.


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A PRACTICAR

1) CALCULADORA
Ingresa dos números naturales a la calculadora y te reportará, a la vez, el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor.

2) ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos en escenas animadas y selecciona las actividades interactivas a realizar.
3) ACTIVIDADES DESCARTES
Para practicar interactivamente el cálculo mental del MCM y MCD en situaciones que lo ameritan.

Mínimo Común Múltiplo

PARA REFLEXIONAR

¿Qué es el mínimo común múltiplo?
¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo de números naturales?
¿Cuánto es el minimo común múltiplo de 5 y 7?
¿Cuánto es el minimo común múltiplo de 30 y 40?
¿Cuánto es el minimo común múltiplo de 120, 200 y 300?

Son preguntas que aprenderás a responder al estudiar este tema.

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A PRACTICAR

1) CALCULADORA
Ingresa dos números naturales a la calculadora y te reportará, a la vez, el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor.

2) ACTIVIDAD INTERACTIVA
Accederás a practicar interactivamente el cálculo de múltiplos y mínimo común múltiplo, en ejercicos y actividades de evaluación.

3) ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos en escenas animadas y elige las actividades interactivas a realizar.

4) ACTIVIDADES DESCARTES
Para practicar interactivamente el cálculo mental del MCM y MCD en situaciones que lo ameritan.

Número de divisores de números compuestos

Ya sabemos que los números primos tienen solamente dos divisores y que los números compuestos tienen más de dos divisores.

Por ejemplo, ¿Cuántos divisores tiene el número 30?

Los divisores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.

Escribiendo los divisores de 30 y luego contádolos vemos que hay 8 divisores. Este procedimiento es sencillo, porque se trata de un número pequeño. Pero, ¿Cuántos divisores tiene el número 1520? . ¿Cuántos divisores tiene el número 1800?.

Podemos seguier el procedimiento anterior, pero seguro que algo va a pasar en el camino, nos vamos a desanimar en seguir, podemos cometer algun error o nos vamos a demorar más de la cuenta.

Ante tal situación, surge la pregunta, ¿existte otra manera de obtener el número de divisores de cualquier número natural, que sea más ágil y que demande menos esfuerzo?

La respuesta es si. Afortunadamente para nosotros, alguien ideó un procedimiento sencillo y muy seguro. Te invito a repasar las siguientes diapositivas para aprenderlo.

PRESENTACIÓN DE DIAPOSITIVAS

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A PRACTICAR

1) Imaginate cualquier número natural y calcula el número de divisores que tiene, on line. Debes visitar la web de descartes y buscar allí la caja que permite hacer tales cálculos.
ZONA DESCARTES

2) Abre la calculador e ingresa un número natural culaquiera, te reportará una lista de todos sus divisores, que contándolos sabrás cuantos divisores tiene.
CALCULADORA DE DIVISORES

Descomposición en factores primos


PARA REFLEXIONAR

Al observar el número 180 en la pizarra, vemos que es igual a un producto indicado de factores primos; 2, 3 y 5 son números primos. Tal expresión indica que el número 180 esta descompuesto en factores primos.

¿Cómo se obtiene tal expresión?
¿Que proceso se realiza para expresar un número compuesto, en factores primos?







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A PRACTICAR

1) PASO A PASO LOS FACTORES PRIMOS
Selecciona la actividad para realizar interactivamente la descomposición en factores de números naturales.

2) APRENDER MÁS Y EJERCICOS INTERACTIVOS
Explora y practica manipulando en las cajas de las escenas.

3) CALCULADORA
Ingresa número natural a la calculadora y te reportrá la expresión en factores primos.

3) ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos en escenas animadas y selecciona la actividad interactiva a realizar.

Números primos y números compuestos

PARA REFLEXIONAR

Sabemos que los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
Una parte de tales números son primos y otra parte son compuestos.

¿Cuáles son números primos?
¿Cuáles son números compuestos?
¿Cuántos números primos y cuántos compuestos, hay?

Estas son algunas preguntas que debemos esclarecer en esta sección. Te invito a explorar la información.

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a)Video



b)DIAPOSITIVAS




CRIBA DE ERATÓSTENES

¿Cuántos números primos menores que 100, existen?

Eratóstenes, uno de los matemáticos clasicos, ideó un procedimiento para determinar cuáles son los números primos menores que 100, que actualmente lleva su nombre. El procedimiento consiste en los siguiente:

1) se escriben los números naturales hasta el 100.
2) Si se escribió el 1, empezamos tachando el 1, que no es primo y no es compuesto.
3) El primer número primo es el 2, lo dejamos libre y tachamos todos los múltiplos de 2, que no son primos.
4) El primer número que ha quedado sin tachar es el 3, el cual es primo, lo dejamos libre y tachamos todos los múltiplos de 3, que no son primos.
5) El siguiente número que ha quedado sin tachar es el 5, el cual es primo, lo dejamos libre y tachamos todos los múltiplos de 5, que no son primos.

El proceso se repite hasta llegar a NO tachar nada; y todos los números naturales que han quedado sin tachar son primos.

Accede a una simulación de la CRIBA DE ERATÓSTNES

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
Dos o más números enteros son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.

EJEMPLOS:

- 5 Y 8 son PESI, porque el único divisor común es 1.
- 12 y 7 son PESI, porque el único divisor común es 1.
- 4 y 9 son PESI, porque el único divisor común es 1.
- 4, 10 y 35 son PESI, porque el único divisor común es 1.
- 10, 11 y 14 son PESI, porque el único divisor común es 1.


A PRACTICAR

1) Imaginate cualquier número y verifica en la calculadora si es primo o no. Te dejo una pequeña tareita ¿Cuántos números primos hay entre 1010 y 1020?.


2) CALCULADORA DE NÚMEROS PRIMOS
¿571 es primo?, ¿es compuesto?. Lo importante de esta calculadora es que al ingresar un número natural te indicará si es primo o es compuesto.

3) ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos en escenas aninimadas y selecciona la actividad interactiva a realizar.

Criterios de divisibilidad

PARA REFLEXIONAR

Cuando un número natural se divide exactamente entre otro, se dice que es divisible por tal número. Por ejemplo, 645 es divisble por 3 y también pro 5.

¿Cómo saberlo?

Es posible determinar si un número es divisble por: 2,3,4,5,6,7,8, etc. sin tener que dividir. Para ello, debemos aplicar ciertas reglas que se conocen como "criterios de divisibilidad".

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A PRACTICAR

1) EJERCICIOS INTERACTIVOS
Accede a través del enlace a prcacticar los criterios de divisibilidad.

2) ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos en escena animada y selecciona las actividades a realizar, te ayudará a recordar los criterios de divisibilidad.

3)CON LÁPIZ Y PAPEL
Descarga e imprime la hoja de ejercicios, resuélvelos y archiva en tu portafolio.
Criterios de Divisibilidad

Múltiplos y divisores

¿Cuáles son los múltiplos de un número?
¿Cuáles son los divisores de un número?
Los números naturales tienen múltiplos y divisores. En esta sección aprenderás a a diferenciar entre múltiplos y divisores; y a calcular los múltiplos y los divisores de cualquier número natural.

a) Múltiplos. Los múltiplos de un número natural "n" son todos aquellos que se obtienen al multiplicar el número "n" por: 0,1,2,3,4,5,...

EJEMPLO 1: Hallamos los múltiplos de 5.

5 x 0 = 0
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
..................

Luego, los múltiplos de 5 son: {0,5,10,15,20,25, ...}

EJEMPLO 2: Hallamos los múltiplos de 7.

7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
7 x 6 = 42
7 x 7 = 49
7 x 8 = 56
..................

Luego, los múltiplos de 7 son: {0,7,14,21,28,35, ...}

OBSERVACIONES:

Al observar los múltiplos de 5 y de 7 vemos que:
- Un número tiene infinitos múltiplos.
- El cero es múltiplo de todo número natural.

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A PRACTICAR:
1))ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos en animaciones y selecciona las actividades interactivas que deseas realizar.
2)PRÁCTICA ONLINE
Ingresa un número natural para conocer sus múltiplos menores que 100.



b) Divisores. Los divisores de un número natural "n" son todos aquellos números menores o iguales que "n" que lo dividen exactamente.

EJEMPLO 1. Hallamos los divisores de 10.

10 : 1 = 10
10 : 2 = 5
10 : 5 = 2
10 : 10 = 1

Luego, los divisores de 10 son: {1, 2, 5, 10}


EJEMPLO 2. Hallamos los divisores de 24.

24 : 1 = 24
24 : 2 = 12
24 : 3 = 8
24 : 4 = 6
24 : 6 = 4
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 24 = 1

Luego, los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

OBSERVACIONES:
Al observar los divisosres de 10 y 24 vemos que:
- Un número tiene limitado número de divisores.
- El 1 es divisor de todo número natural.

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A PRACTICAR:

1) EJERCICIOS INTERACTIVOS
¿12 es divisor de 60?. Accede a practicar.

2) APRENDER MÁS Y EJERCICOS INTERACTIVOS
Accede a la página de Descartes, investiga y realiza ejercicios sobre múltiplos y divisores.

3) CALCULADORA DE DIVISORES
Lo útil de esta calculadora es que al ingresar un número natural menor o igual a 9999, reportará una lista de todos sus divisores.
4) ACTIVIDADES DESCARTES
Observa ejemplos y selecciona la actividad interactiva a realizar.
5) CON LAPIZ Y PAPEL
Descarga e imprime los ejercicios propuestos de esta clase, resuelvelos y archiva tu trabajo en tu portafolio.

EP_multiplos y Divisores

NÚMEROS NATURALES


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